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等腰梯形背景下的等腰三角形存在性(八年级)

发布日期:2022-05-14 21:15    点击次数:233

等腰梯形背景下的等腰三角形存在性(八年级)

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如上图是梯形中常见的辅助线添线方法,具体例题可参考:梯形中常见辅助线添线方法对于一个等腰梯形而言,往往有以下两种基本图形,这些也是在压轴题第一问中常见的图形。当题目背景是梯形时,要做的第一步是“解梯形”,即根据已知条件求出梯形的底角、上底和腰,这对于后续的问题解决起到事半功倍的效果。

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等腰三角形的存在性问题在解决时可以采取以下路径:①尝试利用勾股定理、三角形中位线定理或特殊三角形的边角关系求出三边的长度;②当无法求出三条边中某一条或某两条边时,可以通过画图,从角的角度切入,这些角往往都是特殊角,其中蕴含着等腰直角三角形、30°-60°-90°三角形以及30°-30°-120°等腰三角形,能够发现这些特殊三角形,并熟练运用其中的边角关系是问题解决的关键。 

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解法分析:题目中给出了具体的腰、上底和下底的长度,就可以解出这个梯形,即求出底角的度数和高的长度。这是在做后面三个问题时需要先完成的。

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本题的第一问是用含t的代数式求出PQ的长度,可以联想构造直角三角形,结合勾股定理求解。

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本题的第二问是等腰梯形的存在性,此时PQ//AB,满足NQ=PM=DP=t。

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本题的第二问是等腰三角形的存在性,对于△PNQ而言,它的三边都可以用含t的代数式表示,由第一问得到了PQ和NQ的长度,对于求PN, 可以利用勾股定理求解。

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解法分析:本题的背景是等腰梯形及动点相结合的问题。本题的第一问是求E到BC的距离,只需要过点E作BC的垂线即可,利用30°-60°-90°三角形的性质求解即可。

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本题的第二问是求△PMN的周长,PM和MN的长度可以借助矩形/平行四边形的性质得到,如何求PN的长度就成为了难点。以下提供两种解法:解法1:已知PM=√3,∠PMN=30°,MN=4,可以过点P作MN的垂线,解△PMN求解PN的长度。

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解法2:过点N作BC垂线,通过解直角三角形和矩形性质求PN的长度。

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本题的第三问是等腰三角形的存在性,需要通过画图进行分类讨论。在画图前,可以发现:NM//AB,可得∠NMC=∠B=60°,∠NMC=∠C=60°,△MNC为等边三角形。分为以下三种情况,同时可以利用等边三角形和30°-30°-120°等腰三角形的性质进行问题解决。

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解法分析:本题的背景是等腰梯形及三角形中位线相结合的问题。本题的第一问和第二问充分利用等腰梯形的性质进行解决。由于出现了等腰直角三角形,因此结合等腰直角三角形的性质进行问题解决。本题的第二问有两种做法,注意定义域必须写上x≠0,满足梯形一组对边平行,一组对边不平行的条件。

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本题的第三问是等腰三角形的存在性,首先,先分析条件:

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接着,画出符合条件的图形,并分析其存在性是否成立:

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